La prima osservazione è stata fatta il 2016-11-06; successivamente è stata rivista il 2018-10-28.
È domenica pomeriggio, abbiamo studiato abbastanza reti combinatorie, sequenziali e sincronizzate, piove, e quindi non rimane di meglio da fare che starsene chiusi in casa, nel nostro studiolo, ad aspettare che giunga l'ora della cena, magari mentre ascoltiamo il rumore della pioggia sui vetri, illuminati solo dalla luce fioca e giallognola della nostra lampadina alogena da tavolo. Adesso prendiamo una di quelle vecchie cassettine con la nostra musica eurodance che ci piace tanto, avviamo il registratore e ci guardiamo intorno: accanto a noi c'è una quadriclessidra a numeri primi come quella in figura.
Mentre Cher intona quella canzone molto triste che fa Music is not good without you, pensiamo: c'è un motivo per cui quelle clessidre sono state tarate con quegli esatti valori?
Le quattro clessidre hanno durata di 1, 3, 5 e 7 minuti. Sembrano numeri primi, con la differenza che c'è l'1 e manca il 2. E se avessero messo 2, 3, 5 e 7?
In questo caso ci si trova in difficoltà a misurare un minuto.
Tuttavia ci piace risolvere questi giochini, e dopo un po'
ci accorgiamo che facendo scorrere completamente la sabbia nella clessidra da 2,
nella clessidra da 3 rimarrebbe 1.
Allora 1 non mi serve ed è inutile. Mi basta quindi 2, 3, 5, e 7?
Azzeriamo lo strumento e cerchiamo di misurare 13 minuti: si gira la quadriclessidra e si aspetta che sia scesa tutta la sabbia nella clessidra da 7 minuti. Nel frattempo, anche le altre tre clessidre hanno finito la loro sabbia, perché si sono esaurite 2, 4 e 5 minuti prima. Si gira di nuovo la quadriclessidra e si aspettano 5 minuti, così si arriva a 12 in totale. Ora ho quattro clessidre da 5, 3, 2 e 2 minuti: non so come misurare l'ultimo minuto che mi rimane.
Allora quella clessidra da 1 non era così inutile come sembrava! Del resto, non ha molto senso misurare qualcosa senza avere l'unità di misura elementare, visto che misurare, per definizione, significa raffrontare due grandezze tra loro, una delle quali è proprio la cosiddetta unità di misura. Dove pensiamo di andare senza le basi?
Dopo esserci vergognati di noi stessi per questo errore così grossolano, posto che l'1 ci deve essere, iniziamo a domandarci se ci sono altri modi furbi di scegliere la durata delle clessidre. Siccome siamo pigri ma ci piace comunque porci queste domande cervellotiche, vogliamo scoprire l'insieme dei numeri che ci permette di misurare qualche manciata di minuti girando la clessidra il minor numero di volte. Facciamo due scarabocchi su un foglio, ma poi ci ricordiamo che la tecnologia ci mette a disposizione potenti strumenti in grado di proiettarci nel futuro e avere un'idea del mondo che ci circonda in breve tempo, perciò scriviamo due righe in Python.
Per qualche minuto pensiamo che non siamo altro che nani affamati sulle spalle di giganti, riempiamo il nostro zaino, e ci godiamo soddisfatti lo spettacolo:
Invece di usare i numeri primi falsi come quelli della nostra quadriclessidra, cosa succede se usiamo i numeri primi veri, cioè 1, 2, 3 e 5? Succede che, a meno che non si debba misurare 2 minuti, conviene sempre usare 1, 3, 5 e 7.
E se invece di usare i numeri primi usassimo clessidre con durata uguale alle potenze di 2 o di 3?
Appare subito chiaro che, all'aumentare del tempo, a potenze di basi maggiori corrispondono meno giri della clessidra.
Tuttavia non ha senso utilizzare basi molto grandi, perché: 1) per misurare brevi intervalli, richiedono più giri rispetto alle loro cugine più piccole (per clessidre dalla durata uguale alle potenze di 3, si hanno vantaggi solo dopo una mezz'ora); 2) per misurare lunghi intervalli ci vogliono meno giri di clessidra, ma anche clessidre più grandi: una clessidra di 27 minuti come quella ipotizzata nel grafico non è molto pratica.
Quadriclessidre con durata uguale alle potenze di 2 o ai numeri primi falsi sono pressoché equivalenti per la prima mezz'ora, dopodiché la base 2 inizia ad avere la meglio sui numeri primi, fino a diventare decisamente più conveniente dopo circa un'ora.
La scelta dei numeri primi falsi risulta quindi vincente per numero di giri in relazione ai modesti tempi misurabili con lo strumento e in relazione ai vincoli fisici della dimensione e durata delle clessidre.
Ma siamo sicuri che non ci siano scelte migliori che, mantenendo gli stessi vantaggi in termini di dimensione e durata delle clessidre, non possano diminuire ulteriormente il numero di giri?
Prendiamo esempio da qualche altro numerello, per esempio i tagli delle monete. Se scegliamo clessidre da 1, 2, 5 e 10, per i primi 10 minuti la situazione è abbastanza tiepida, anzi in un paio di casi è pure svantaggiosa, ma già dopo 20 minuti inizia a far vedere le sue potenzialità, pur continuando a perdere qualche confronto; dopo mezz'ora, diviene molto più conveniente misurare il tempo in questo modo.
In quanto a numero di giri, questa base delle monetine si comporta in maniera simile alle base dei numeri primi falsi e, pur non reggendo il confronto con la base 3, non richiede l'uso di clessidre dalla dimensione e durata ragionevole.
Sembra perciò che questa quadriclessidra avrebbe potuto essere progettata in modo migliore, ma tutto sommato in questo modo è più affascinante: vuoi mettere avere una quadriclessidra a (quasi) numeri primi come oggetto d'arredo?
Terminata questa guerra, scateniamone un'altra: trasformiamoci per un momento in matematici (cosa che a me non riesce tanto bene). Qualcuno ci ha detto che i numeri primi sono rari, mentre le potenze di 2 bene o male sappiamo sempre dove trovarle. Supponendo di avere una pluriclessidra con tante facce, e clessidre dalla durata a piacere, dopo quanto tempo diverrebbe conveniente tarare le clessidre sui numeri primi piuttosto che sulle potenze di 2?
Ai posteri l'ardua sentenza.